Category Archive ProblemsSolutions

Sebuah misil bermassa m meledak menjadi tiga bagian yang sama (masing-masing m/3) di suatu titik pada lintasannya saat mengalami gerak parabola. Satu bagian melanjutkan gerakannya dengan kecepatan setelah meledak adalah setengah dari kecepatan misil sebelum meledak $latex \vec{\textbf{v}}_0 $. Sedangkan dua bagian yang lain bergerak membentuk sudut $latex 90^\circ $ satu sama lain dan dengan kecepatan antar keduanya sama. Hitung kecepatan keduanya setelah meledak dinyatakan dalam suku $latex v_o $! (Fowles & Cassiday, Analytical Mechanics)

\textbf{Pembahasan:}

Saat meledak, berlaku hukum kelestarian momentum linier yang dinyatakan sebagai berikut
$latex m\vec{\textbf{v}}_{cm}=m\vec{\textbf{v}}_{0}=\frac{m}{3}\vec{\textbf{v}}_1+\frac{m}{3}\vec{\textbf{v}}_2+\frac{m}{3}\vec{\textbf{v}}_3 $

Diketahui bahwa : $latex \vec{\textbf{v}}_1=\vec{\textbf{v}}_0/2 $, $latex \vec{\textbf{v}}_2\cdot\vec{\textbf{v}}_3=0 $, dan $latex v_2=v_3 $, sehingga persamaan pertama diatas setelah setelah menghilangkan suku $latex m $ adalah $latex 3\vec{\textbf{v}}_0=(\vec{\textbf{v}}_0/2)+\vec{\textbf{v}}_2+\vec{\textbf{v}}_3 $, atau
$latex
\frac{5}{2}\vec{\textbf{v}}_0=\vec{\textbf{v}}_2+\vec{\textbf{v}}_3
$
Selanjutnya kerjakan hasil kali skalar terhadap dirinya sendiri di masing-masing ruas, dan diperoleh
$latex
\frac{5}{2}v_0^2=(\vec{\textbf{v}}_2+\vec{\textbf{v}}_3)\cdot(\vec{\textbf{v}}_2+\vec{\textbf{v}}_3)=v_2^2+2\vec{\textbf{v}}_2\cdot\vec{\textbf{v}}_3+v_3^2=2v_2^2
$
Sehingga,
$latex
v_2=v_3=\frac{5}{2\sqrt{2}}v_0\approx 1.77v_0
$

[latexpage]

Penghapus Papan Tulis

Penghapus bermassa tertentu digunakan untuk menghapus papan tulis, jika koefisien gesek kinetik antara penghapus dan papan tulis adalah $latex \mu_k$, gaya normal yang bekerja adalah $latex N$, gaya untuk menggerakkan penghapus lurus ke bawah dengan kecepatan tetap adalah $latex F_b$ dan gaya untuk menggerakannya lurus ke atas dengan kecepatan tetap adalah $latex F_a$ maka berapakah gaya yang diperlukan untuk menggerakkan penghapus pada arah mendatar dengan kecepatan tetap? (Nyatakan dalam $latex \mu_k,N,F_b,F_a$)

(Soal ini buatan saya pribadi, hasil modifikasi dari soal yang diberikan guru saya pada saat pembinaan olimpiade kontingen Jawa Tengah pada 2006 dahulu. Kasus ini sangat menarik dan terus saya ingat meskipun sebenarnya tidak begitu sulit )

Pembahasan :

Gaya gesek selalu melawan arah gerak. Persamaan gaya pada saat turun ke bawah adalah
[latex]
F_b=\mu_k N-mg
[/latex]
dan persamaan gaya pada saat naik keatas adalah
[latex]
F_a=mg+\mu_kN.
[/latex]
Kedua persamaan di atas dapat dikurangkan untuk mendapatkan
[latex]
F_b-F_a=-2mg[/latex]
[latex] mg=\frac{1}{2}(F_a-F_b) \label{mgiki}
[/latex]
Gaya yang dikerjakan untuk menggerakan penghapus pada arah mendatar harus dikerjakan membentuk sudut terhadap bidang datar karena sebagian gaya diperlukan untuk menahan massa pengapus. Persamaan gaya pada sumbu tegak adalah
[latex]
F\sin\theta=mg
[/latex]
dan persamaan gaya pada sumbu mendatar adalah
[latex]\label{fcosiki}
F\cos\theta=\mu_k N
[/latex]
sehingga dari kedua persamaan ini diperoleh
[latex]
\tan\theta=\frac{mg}{\mu_k N}
[/latex]
atau jika menggunakan [latex] mg=\frac{1}{2}(F_a-F_b) \label{mgiki}[/latex] maka
[latex]
\tan\theta=\frac{F_a-F_b}{2\mu_k N}
[/latex]
lalu gunakan [latex]\label{fcosiki}F\cos\theta=\mu_k N[/latex] dan gunakan
[latex]
\cos\theta=\frac{2\mu_k N}{\sqrt{(F_a-F_B)^2-4\mu_k^2 N^2}}
[/latex]
maka
[latex]
F=\frac{1}{2}\sqrt{(F_a-F_B)^2-4\mu_k^2 N^2}
[/latex]

[latexpage]

Dua Katrol dan Bidang Miring. Dua buah massa disusun pada bidang miring yang tetap seperti pada gambar, $latex m_2$ besarnya adalah $latex \eta$ kali $latex m_1$. Jika seluruh permukaan licin dan anggap katrol memiliki massa yang dapat diabaikan, tentukan percepatan $latex m_2$!

(Diambil dari Problems in General Physics, I.E. Irodov)

Penyelesaian :

Anggap $latex T_1, a_1$ dan $latex T_2,a_2$ berturut-turut adalah tegangan tali dan percepatan pada $latex m_1$ dan $latex m_2$. Persamaan gaya pada $latex m_1$ adalah
[latex]
T_1-m_1 g \sin\alpha=m_1a_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\label{kiye1}
[/latex]
dan persamaan gaya pada $latex m_2$ adalah
[latex]
m_2g-T_2=m_2a_2.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)\label{iki2}
[/latex]
Massa katrol dan gesekan yang diabaikan menghasilkan hubungan $latex T_1=2T_2$ dan konfigurasi katrol menyebabkan $latex a_2=2a_1$. Sehingga persamaan (2) dapat disubstitusikan dan dikalikan dua menjadi
[latex]
2m_2g-T_1=4m_2a_1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)\label{kiye2}
[/latex]
lalu jumlahkan (1) dan (3) sehingga
[latex]
2m_2g-m_1g\sin\alpha=a_1(4m_2+m_1)[/latex]
[latex]a_1=g\frac{2m_2-m_1\sin\alpha}{4m_2+m_1}[/latex]
dan percepatan pada $latex m_2$ adalah
[latex]
a_2=2g\frac{2m_2-m_1\sin\alpha}{4m_2+m_1}
[/latex]