Persoalan Pekan ini – 2. Penghapus Papan Tulis

[latexpage]

Penghapus Papan Tulis

Penghapus bermassa tertentu digunakan untuk menghapus papan tulis, jika koefisien gesek kinetik antara penghapus dan papan tulis adalah $latex \mu_k$, gaya normal yang bekerja adalah $latex N$, gaya untuk menggerakkan penghapus lurus ke bawah dengan kecepatan tetap adalah $latex F_b$ dan gaya untuk menggerakannya lurus ke atas dengan kecepatan tetap adalah $latex F_a$ maka berapakah gaya yang diperlukan untuk menggerakkan penghapus pada arah mendatar dengan kecepatan tetap? (Nyatakan dalam $latex \mu_k,N,F_b,F_a$)

(Soal ini buatan saya pribadi, hasil modifikasi dari soal yang diberikan guru saya pada saat pembinaan olimpiade kontingen Jawa Tengah pada 2006 dahulu. Kasus ini sangat menarik dan terus saya ingat meskipun sebenarnya tidak begitu sulit )

Pembahasan :

Gaya gesek selalu melawan arah gerak. Persamaan gaya pada saat turun ke bawah adalah
[latex]
F_b=\mu_k N-mg
[/latex]
dan persamaan gaya pada saat naik keatas adalah
[latex]
F_a=mg+\mu_kN.
[/latex]
Kedua persamaan di atas dapat dikurangkan untuk mendapatkan
[latex]
F_b-F_a=-2mg[/latex]
[latex] mg=\frac{1}{2}(F_a-F_b) \label{mgiki}
[/latex]
Gaya yang dikerjakan untuk menggerakan penghapus pada arah mendatar harus dikerjakan membentuk sudut terhadap bidang datar karena sebagian gaya diperlukan untuk menahan massa pengapus. Persamaan gaya pada sumbu tegak adalah
[latex]
F\sin\theta=mg
[/latex]
dan persamaan gaya pada sumbu mendatar adalah
[latex]\label{fcosiki}
F\cos\theta=\mu_k N
[/latex]
sehingga dari kedua persamaan ini diperoleh
[latex]
\tan\theta=\frac{mg}{\mu_k N}
[/latex]
atau jika menggunakan [latex] mg=\frac{1}{2}(F_a-F_b) \label{mgiki}[/latex] maka
[latex]
\tan\theta=\frac{F_a-F_b}{2\mu_k N}
[/latex]
lalu gunakan [latex]\label{fcosiki}F\cos\theta=\mu_k N[/latex] dan gunakan
[latex]
\cos\theta=\frac{2\mu_k N}{\sqrt{(F_a-F_B)^2-4\mu_k^2 N^2}}
[/latex]
maka
[latex]
F=\frac{1}{2}\sqrt{(F_a-F_B)^2-4\mu_k^2 N^2}
[/latex]